Des moyens de transport

Énoncé

Lors de ses temps de vacances, Luca va régulièrement en Italie. Lorsqu'il va en Italie, dans  \(40 \, \%\) des cas il y va en avion. Lors de ses autres déplacements, il privilégie l'avion dans  \(75\,\%\) des cas.

On note  \(\text I\)  l'événement : « Luca va en Italie » et \(\text A\) l'événement : « Luca se déplace en avion »; et on assimile toute fréquence à une probabilité.

Soit \(p=P(\text I)\)  la probabilité que Luca aille en Italie.

1. Tracer l'arbre pondéré correspondant à la situation.
2. Exprimer la probabilité que Luca prenne l'avion en fonction de \(p\) .
3. Malgré sa bonne volonté de vouloir limiter ses déplacements en avion, Luca prend l'avion 6 fois sur 10 lors de ces déplacements. Déterminer \(p\) . Arrondir sa valeur au centième.

Solution
1. L'arbre pondéré correspondant est :

2. \(\text I\) et \(\bar{\text I}\)  forment une partition de l'univers. Avec la formule des probabilités totales, on a :
\(P(\text A) = P(\text I \cap \text A) + P( \overline{\text I}\cap \text A) = p \times 0,4 + (1-p)\times 0,75\) \(P(\text A) = 0,4p + 0,75 - 0,75 p =0 ,75 - 0, 35 p\)
3. Comme  \(P(\text A) = 0,6\) , on résout  \(0 ,75 - 0, 35 p = 0,6\) , et on trouve  \(p = \dfrac{0,75 - 0,6}{0,35} \approx 0,43\) .
La probabilité que Luca se rende en Italie est de \(0,43\) .